40
Cred ca la inceput de saptamana cand nici iarba nu creste, un imbold primit din partea unor probleme de logica ar fi binevenit pentru “demarajul” mintal necesar unei noi saptamani. Sper sa fiti mai inspirati decat sunt eu lunea.
Problema 1
Intr-o dimineata, la rasaritul soarelui, un calugar budist incepe ascensiunea pe un munte inalt. Poteca ingusta, nu mai lata de un picior sau doua, mergea in spirala spre varful muntelui pe care se afla un templu. Calugarul urca cu o viteza variabila cararea, oprindu-se, din cand in cand, sa se odihneasca si sa manance din fructele uscate pe care le cara cu el. Dupa cateva zile de meditatie in templul de pe munte, el a facut calea-intoarsa, pornind, din nou, la rasaritul soarelui, mergand, din nou, cu viteze diferite, si, iarasi, facand popasuri dese pe traseu. Viteza medie a fost, fireste, mai mare la coborare decat la urcare.
Dovediti ca exista un loc pe traseu prin care calugarul va trece la aceeasi ora din zi, atat la urcare, cat si la coborare.
Problema 2
Presupunem ca avem un set de carti de joc (toate cartile avand aceiasi culoare), care contine un as, 2 de doi, 3 treiari, mergand pana la 9 de 9, ajungand astfel la un total de 45 de carti. Cartile sunt amestecate, si cineva trage o carte din gramada. Trebuie sa ghiciti cartea punand intrebari la care sa se raspunda cu da sau nu.
Cum puteti minimiza numarul de intrebari pe care va trebui sa le puneti?
Problema 3
Mihai l-a batut pe Aurel intr-un set de tenis de camp, castigand setul cu 6 la 3. Cinci dintre ghemuri au fost castigate contra serviciului.
Cine a servit primul?
7 Comentarii
P1:
Drumul calugarului poate fi gandit ca o deplasare pe axa reala. Astfel se poate presupune ca porneste din punctul 0 si ajunge in punctul a. Se poate presupune a>0.
Drumul poate fi descris printr-o functie ce asociaza fiecarui moment de timp punctul in care se afla (numarul de pe axa reala). Se poate presupune ca porneste la momentuld e timp 0.
Se asociaza astfel doua functii:
urcare: f:[0, T1]->[0 a] cu f(0) = 0 si f(T1) = a
coborare: g:[0, T2]->[0 a] cu g(0) = a si g(T2) = 0
Aceste functii pot fi considerate continue din punct de vedere al spatiului parcurs.
Relatia dintre vitezele medii(in modul): (a-0)/T1 T2 < T1
Fie functia h = f-g care este de asemenea continua.
h(0) = f(0) – g(0) = -a 0 deoarece calugarul se deplaseaza catre punctul a care este pozitiv.
Conform principiului lui Darboux pentru functii continue, adica daca o functie continua trece de la pozitiv la negativ (sau invers) atunci va trece prin zero, va exista un moment de timp T astfel incat h(T) = 0, adica f(T) = g(T), adica atat la urcare cat si la coborare, la momentul de timp T calugarul se va afla in acelasi punct al traseului.
septembrie 27, 2010 - 9:37 amSe pare ca textul nu se formateaza cum trebuie.
P1:
Drumul calugarului poate fi gandit ca o deplasare pe axa reala. Astfel se poate presupune ca porneste din punctul 0 si ajunge in punctul a. Se poate presupune a>0.
Drumul poate fi descris printr-o functie ce asociaza fiecarui moment de timp punctul in care se afla (numarul de pe axa reala). Se poate presupune ca porneste la momentul de timp 0.
Se asociaza astfel doua functii:
urcare: f:[0, T1]->[0 a] cu f(0) = 0 si f(T1) = a (porneste din punctul 0, ajunge in
punctul a)
coborare: g:[0, T2]->[0 a] cu g(0) = a si g(T2) = 0 (porneste din punctul a, ajunge in
punctul 0)
Aceste functii pot fi considerate continue din punct de vedere al spatiului parcurs.
Relatia dintre vitezele medii(in modul): (a-0)/T1 T2 < T1
Fie functia h = f-g care este de asemenea continua.
h(0) = f(0) – g(0) = -a 0 deoarece calugarul se deplaseaza catre punctul a care este pozitiv.
Conform principiului lui Darboux pentru functii continue, adica daca o functie continua trece de la pozitiv la negativ (sau invers) atunci va trece prin zero, va exista un moment de timp T astfel incat h(T) = 0, adica f(T) = g(T), adica atat la urcare cat si la coborare la momentul de timp T calugarul se va afla in acelasi punct al traseului.
septembrie 27, 2010 - 9:42 amTrist…
septembrie 27, 2010 - 9:43 amSolutia poate fi citita aici . (Click image pt zoom)
septembrie 27, 2010 - 9:53 amInteresanta solutia ta.
septembrie 27, 2010 - 10:40 amO solutie ceva mai simpla ar fi daca am suprapune cele doua trasee (la urcare si la coborare) ca si cum ele s-ar desfasura simultan (sau ca si cum doua persoane ar incepe ascensiunea si coborarea in acelasi timp). Ei se vor intalni, desigur, la un moment dat.
La 3.Aurel a servit primul.
septembrie 27, 2010 - 11:16 amDin 9 ghemuri unul serveste 5 si unul 4.Cum 5 au fost castigate pe serviciul adversarului…Aurel a servit primul.
De fapt Mihai a servit primul.
septembrie 27, 2010 - 5:44 pmO solutie simpla ar fi urmatoarea:
Cine a servit primul, a servit in 5 ghemuri, iar celalalt in 4.
Sa presupunem ca primul care a servit a castigat x dintre ghemurile in care a servit, si y dintre ghemurile in care a servit celalalt.
Numarul total de jocuri pierdute de jucatorii care au fost la serviciu este de 5-x+y, care e egal cu 5 (pentru ca stim ca numarul total de jocuri castigate contra serviciului a fost de 5), asa ca x=y, iar primul jucator care a servit a castigat un numar de 2x ghemuri.
Cum Mihai e singurul care a castigat un numar par de jocuri inseamna ca el a servit primul.