Incerc sa reiau aceasta rubrica dupa o pauza destul de lunga.
Cred ca la inceput de saptamana cand nici iarba nu creste, un imbold primit din partea unor probleme de logica ar fi binevenit pentru “demarajul” mintal necesar unei noi saptamani. Sper sa fiti mai inspirati decat sunt eu lunea.
Problema 1
Asezati 6 puluri pe o masa alternand culorile (negru, alb, negru alb, negru, alb), lasand un spatiu pentru in stanga in care sa incapa 4 puluri. Acestea trebuie rearanjate astfel incat toate pulurile albe sa ajunga in stanga si toate cele negre in dreapta, fara ca intre ele sa existe locuri goale. Pulurile trebuie mutate cate 2, luand cate 2 puluri adiacente odata (pastrandu-li-se ordinea) si deplasate intr-un spatiu gol. Incercati sa realizati acest lucru in numai trei mutari.
Problema 2
Un ceasornicar a fost sunat cerandu-i-se sa se deplaseze la domiciliul unui client ca sa schimbe limbile defecte ale unui ceas mecanic. Cum acesta era bolnav l-a trimis pe ucenicul sau sa execute raparatia. Cand acesta a teminat reparatia se facuse cam intuneric, asa ca el a atasat noile limbi rapid, si a potrivit ceasul dupa propiul ceas. Era ora sase, asa ca el a potrivit limba cea mare la 12, si cea mica la 6. Ucenicul s-a intors la firma, dar imediat a sunat telefonul. Clientul suparat i-a comunicat ca ceasul nu arata ora corecta. Cand ucenicul a ajuns din nou la domiciliul acestuia a constatat ca ceasul arata putin dupa ora 8, si i-a spus clientului aratandu-i propriul ceas:
-Priviti, va rog, ceasurile arata exact aceeasi ora.
Clientul a trebuit sa fie de acord. A doua zi dimineata, insa, acesta a telefonat din nou spunand ca limbile se misca haotic. Cand ucenicul a ajuns grabit, ceasul arata putin dupa ora 7. Dupa ce a verificat ora pe ceasul sau ucenicul a spus furios:
-Glumiti pe seama mea? Ceasul dvs. arata ora exacta!
Puteti sa va dati seama ce s-a intamplat?
Problema 3
Cineva avea in casa un singur ceas (o pendula), pe care la un moment dat a uitat sa-l intoarca, astfel incat acesta a stat. Asa ca acesta s-a dus in vizita la un amic care avea un ceas care arata intotdeauna ora exact, a stat putin, dupa care s-a reintors acasa, a facut un calcul simplu, si si-a potrivit ceasul la ora exacta.
Cum a facut lucrul acesta, avand in vedere ca nu a avut niciun ceas la el ca sa stie cat timp i-a luat ca sa se intoarca de la casa prietenului?
Problema 4
a) Incercati sa gasiti o solutie simpla pentru adunarea tuturor cifrelor care compun numerele de la 1 la 1.000.000 (si nu a numerelor insasi).
b) Incercati sa gasiti o solutie similara pentru adunarea tuturor cifrelor care compun numerele de la 1 la 1.000.000.000 (si nu a numerelor insasi).
Problema 5
De cate ori tanara Alina vede cate o pisicuta parasita pe strada o ia si o aduce acasa. Ea intotdeauna creste cateva, dar nu spue niciodata cate anume, ca sa nu fie luata in ras? Odata, intrebata de un prieten cate are acasa la acel moment, a raspuns:
-Nu multe. ¾ din numarul lor + ¾ dintr-o pisicuta.
Prietenul a crezut ca a glumit, dar de fapt raspunsul e simplu. Puteti spune cate pisicute avea?
13 Comentarii
P5:3 pisici
martie 16, 2010 - 1:36 amCorect Cristi.
martie 16, 2010 - 7:17 amchiar m-a pus pe ganduri .. sunt curioasa sa aflu rasp.
martie 17, 2010 - 7:48 pmProblema 3.
martie 18, 2010 - 2:19 amA intors pendula, iar in momentul plecarii a fixat-o la ora 12. Apoi si-a notat (dupa ceasul exact al prietenului) atat durata “V” a vizitei (in ore), cat si ora “P” a plecarii catre casa. La sosirea acasa, pendula sa arata ora “T”. A cronometrat un timp “G” de gandire (care depinde de cat de destept era) in care a dedus ca durata drumului dus-intors catre prietenul sau a fost diferenta T-V. In final, el si-a reglat pendula la ora P+(T-V)/2+G.
Cam asa e rezolvarea la Problema 3, dar o sa o dau si pe cea oficiala (pentru ca mie mi se pare ca ecuatiile nu sunt chiar echivalente).
martie 18, 2010 - 9:03 pm“Cand a plecat de acasa a intors ceasul. Cand s-a intors, diferenta masurata in timp era egala cu timpul pe care l-a luat drumul dus-intors pana la prietenul lui, plus timpul petrecut la acesta. Dar acesta din urma era cunoscut, pentru ca s-a uitat la cesul amicului la venire si la plecare.
Scazand rastimpul vizitei din cel cat acesta lipsise de acasa, si impartimd rezultatul la 2, se obtine timpul necesar intoarcerii acasa. Adunand acest rezultat la ora aratata de ceasul prietenului in momentul in care omul a parasit casa acestuia se obtine ora exacta care trebuie fixata pe ceas.”
Problema 4.
martie 21, 2010 - 8:12 pmNotam cu S(k) suma cifrelor tuturor numerelor cu cel mult “k” cifre (k=0,1,2,…). De exemplu, avem
S(0)=0, S(1)=0+1+…+9=45.
Trebuie determinat numarul S(6)+1 (unde “+1” provine din suma cifrelor lui 1000000). Un calcul cu sume arata ca
S(k+1)=10*S(k)+45*10^k (k=0,1,2,…).
De aici, obtinem imediat ca
S(k)=45*k*10^(k-1) (k=0,1,2,…).
Deci S(6)+1=45*6*10^5+1=27*10^6+1=27000001.
Cred ca e o greseala Vlad (desi nu pot sa-mi dau seama unde e). O sa dau si “povestea” care sta in spatele acestei probleme (si logica ce a stat la baza ei).
martie 21, 2010 - 10:28 pmCand Karl Friedrich Gauss avea noua (!!!) ani i sa cerut sa insumeze toate numerele intregi de la 1 la 100.
El a facut asta grupand numerele pe perechi, adunand 1 la 100, 2 la 99, etc, si a obtinut 50 de perechi de numere care insumau 101, si afland astfel rapid raspunsul 50 x 101 = 5050.
@ Dan. Am ajuns in impas. Si eu am facut o demonstratie in care am toata increderea pe care mi-o da claritatea unui rationament. Pana la urma, care ar fi suma (a cifrelor care compun numerele de la 1 la 1.000.000 si nu a numerelor respective)?
Povestea cu Gauss e draguta. Pare-se ca in ziua cu pricina invatatorul era obosit si a vrut sa se mai odihneasca putin, dandu-le copiilor suma aceea care ar fi trebuit sa-i tina ocupati catva timp. K.F. Gauss i-a stricat planul, dar i-a si facut o mare bucurie.
martie 22, 2010 - 7:46 pm@ Vlad
martie 22, 2010 - 8:17 pmTrebuie sa-mi cer scuze, a fost o eroare de scriere din partea mea (am vrut sa scriu un miliard in loc de un milion), asa ca am adaugat un nou punct problemei cu varianta pe care trebuia s-o scriu initial.
Solutia ta la problema (care acum a devenit punctul a al problemei) este corecta.
Felicitari (si, inca o data, scuze)!
Poate incerci si pentru 1.000.000.000? (trebuie sa spun ca rationamentul pare mai simplu daca ne folosim de “modelul” lui Gauss).
Bine ca o facusem in general mai devreme (postarea 6). Pentru problema cu 1.000.000.000 suma este
S(9)+1=45*9*10^8+1=40.500.000.001.
martie 22, 2010 - 8:46 pm🙂 evident era simplu odata gasita formula (am vazut asta abia dupa ce am postat comentariul anterior).
Mai jos e metoda “cealalta”:
Ca si in cazul metodei folosite de Gauss, numerele pot fi grupate cate 2
999.999.999 si 0
999.999.998 si 1
999.999.997 si 2, samd.
Sunt o jumatate de milion de perechi, si suma cifrelor din fiecare pereche e 81, plus suma cifrelor numarului 1.000.000.000 (care e egala cu 1).
martie 22, 2010 - 8:54 pmAtunci suma totala este:
(500.000.000 x 81) + 1 = 40.500.000.001 (identica cu ce ti-a dat tie).
@ Dan. Multumesc pentru solutia cealalta. Este complet diferita (si ceva mai simpla) fata de ceea ce am gandit eu.
martie 22, 2010 - 9:01 pmNu ai pentru ce Vlad. Eu (spre deosebire de tine) nu ma pot mandri ca am gasit o solutie singur.
martie 22, 2010 - 9:07 pm