40
Cred ca la inceput de saptamana cand nici iarba nu creste, un imbold primit din partea unor probleme de logica ar fi binevenit pentru “demarajul” mintal necesar unei noi saptamani. Sper sa fiti mai inspirati decat sunt eu lunea.
Problema 1
La baza unei scari ce duce la etajul unei case se afla trei intrerupatoare. Unul dintre acestea comanda aprinderea unui bec in
podul casei (dar nu se poate observa lumina de la baza scarii), celelalte doua nu comanda insa nimic.
Se poate determina dupa actionarea unora dintre intrerupatoare, si efectuarea unui singur drum in pod, care dintre intrerupatoare comanda becul?
Problema 2
Avem doua fitiluri (sau sfori) care ard, fiecare, in exact 1 minut, dar nu uniform pe toata lungimea lor.
Putem sa le folosim pentru a masura exact 45 de secunde?
Problema 3
Un numar impar de soldati stationati pe un camp au fost aranjati la distante inegale unul fata de celalalt. Fiecarui soldat i s-a spus sa-l urmareasca cu privirea pe cel mai apropiat soldat.
Demonstrati ca exista cel putin un soldat pe care nu-l priveste vreun alt soldat.
Problema 4
Intr-o sala de sport erau 100 de dulapuri, numerotate de la 1 la 100, pentru cei 100 de elevi care faceau sport in acealasi timp. Cand primul elev a intrat in sala, a deschis toate dulapurile. Al doilea elev intrat a inchis toate dulapurile care aveau numere pare, al treilea elev intrat a schimbat starea tuturor dulapurilor care erau multiplu de 3, etc.
In ce stare sunt dulapurile dupa ce toti cei 100 de elevi au intrat?
Problema 5
Daca se dau 25 de numere pozitive diferite, aratati ca puteti alege doua dintre ele, astfel incat niciunul dintre numerele ramase sa nu fie egal cu suma sau diferenta celor doua.
13 Comentarii
La problema 1 este simplu: apas un intrerupator, il tin cateva minute activat (pentru ca eventual becul daca s-a aprins sa se si incalzeasca), apoi il dezactivez si apas alt intrerupator, dupa care merg la bec. Daca becul este apris, e clar. Daca nu e aprins dar e cald, iar e clar. Iar daca e si stins si rece iar e clar.
mai 31, 2010 - 10:23 amProblema 5 cred ca e formulata gresit. De exemplu aleg 24 de 1 si un 2. Daca aleg doi de 1 am suma 2 iar daca aleg un 1 si un 2 am difernta 1 deci poate trebuia 25 de numere naturale nenul diferite…
La problema 2 cred ca trebuie sa taiem sforile in cate 64 de capataie egale (folosind injumatatirea repetata, 64 este putere a lui 2) obtind astfel 128 de capataie. Vom arde 48 de capataie (48 din 128 este acelasi raport ca 45 sec din 120 sec)
mai 31, 2010 - 10:42 amLa problema 3 consideram mai intai doar ca sunt doar 3 soldati. Este evident ca doi dintre ei (aflati pe latura cea mai scurta a triunghiului format ) se vor privi intre ei, in timp ce al treilea nu va fi privit de nimeni. Prin inductie matematica, mai adaugam inca 2 soldati si condideram grupul de trei format din acestia si soldatul neprivit din primul grup. Repetand rationamentul,vom avea din nou un soldat neprivit fie el chiar cel din primul grup sau unul din cei doi adaugati. Vom avea astfel un soldat neprivit din 5. Apoi mai adaugam inca doi soldati si inca doi si asa mai departe si repetand judecata vom demonstra pentru 7 sau 9 sau 11 de fapt pentru orice numar impar de soldati
mai 31, 2010 - 10:55 amLa problema 2 solutia lui Matador_95 nu cred ca este buna deoarece prin injumatatire nu se asigura faptul ca cele doua jumatati ard in aceeasi periada de timp, adica jumatate din timpul total de ardere. Solutia este urmatoarea:
[1] se aprinde un fir la ambele capete si unul doar la un singur capat
mai 31, 2010 - 1:06 pm[2] cand cel care a fost aprins la ambele extremitati arde complet inseamna ca au trecut 30 de secunde (jumatate din timpul total de ardere, deoarece nu are nici o relevanta directia in care se indreapta flacara). Imediat se aprinde si celalalt capat al firului ramas care mai are de ars 30 de secunde si conform principiului anterior cand va arde complet vor mai trece inca 15 secunde.
Bravo, Cosmin, ai dreptate, trebuia sa ma gandesc mai bine.
mai 31, 2010 - 1:31 pmproblema 4: Un dulap k este “actionat” doar de elevii ai caror numar de ordine divid k. Un dulap este deschis daca este actionat de un numar impar de ori. Trebuiesc gasite practic numerele de la 1 la 100 care au numar impar de divizori. Aceste numere sunt patratele perfecte. Divizorii numarului x ii grupam in perechi de forma (d, x/d) cu d <= x/d (daca d este divizor al lui x atunci si x/d este divizor al lui x). x are numar impar de divizori daca si numai daca exista o pereche de divizori cu ambele componente egale adica d = x/d adica x = d^2. 🙂
mai 31, 2010 - 1:32 pmDeci sunt deschise doar dulapurile 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
La problema 6 s-ar putea sa fii foarte aproape de adevar, Cosmin, dar sa luam dulapul nr. 37 (numar prim) El a fost deschis de primul elev, inchis de elevul nr. 37 si deschis de elevul 74, deci ramane deschis iar 74 nu este patrat perfect
mai 31, 2010 - 1:46 pmScuze , 37 nu este pp
mai 31, 2010 - 1:46 pmScuze inca o dat, de fapt ai dreptate 74 nu divide pe 37 ci invers. Demonstratia lui Cosmin este corecta. Felicitari !
mai 31, 2010 - 1:48 pmLa P1 raspunsul lui Matador_95 e corect.
La P2 solutia lui Cosmin Pit e cea corecta (faptul ca fitilele nu ard constant de-a lungul lor nu permite o solutie care implica taierea lor).
La P3 solutia e corecta (demonstratia originala a problemei care a fost prezentata la Competitia matematica a USSR din 1966 de la Voronet, presupunea eliminarea perechilor de soldati cei mai apropiati unul de celalalt, care trebuiau sa se priveasca reciproc, ramanand deci unul care nu era privit de nimeni).
Solutia lui Cosmin Pit la P4 corecta.
Felicitari rezolvitorilor!
Observatia lui Matador_95 cu privire la P5 e corecta. Numerele trebuie sa fie intr-adevar diferite (am modificat enuntul).
mai 31, 2010 - 6:59 pmProblema 3.
Inductia lui Matador_95 nu este tocmai in regula, pentru ca daca la o configuratie de 3 soldati adaugam inca 2, noii veniti pot “atrage privirile” unora dintre primii 3, in functie de distantele la care sunt amplasati.
Solutie. In mod paradoxal, problema usor generalizata este mai usor de rezolvat. Mai precis, concluzia ramane adevarata in ipoteza mai slaba ca
mai 31, 2010 - 7:51 pm“fiecare soldat fie isi priveste cel mai apropiat coleg, fie nu-si priveste niciun coleg.”
Afirmatia pentru 3 soldati este adevarata (dupa ideea lui Matador_95 pentru triunghi).
Presupunand afirmatia adevarata pentru 2n+1 soldati (ipoteza de inductie), sa consideram o configuratie de 2n+3 soldati. Conform ipotezei mai slabe, cei doi (A si B) aflati la distanta minima nu pot privi la niciunul dintre ceilalti 2n+1 colegi, iar printre acestia din urma exista unul neprivit de nimeni, conform ipotezei de inductie (care in varianta generalizata poate fi folosita dupa eliminarea lui A si B).
P5 trebuie inteleasa in sensul ca : oricare ar fi 25 nr diferite, exista douä a. i. …. ?
N-ar merge si pentru 5 nr diferite ?
iunie 9, 2010 - 9:58 amPrima asertiune este corecta. Eu cred ca reducerea numarului de numere 🙂 nu mareste dificultatea problemei, ci dimpotriva.
iunie 9, 2010 - 7:33 pm