Incerca sa reiau aceasta rubrica dupa o pauza destul de lunga.
Cred ca la inceput de saptamana cand nici iarba nu creste, un imbold primit din partea unor probleme de logica ar fi binevenit pentru “demarajul” mintal necesar unei noi saptamani. Sper sa fiti mai inspirati decat sunt eu lunea.
Problema 1
Puteti ghici un numar intre 1 si 1000 ales de cineva, punandu-i maxim 10 intrebari la care sa raspunda cu da sau nu?
Daca da, cum formulati intrebarile?
Problema 2
Aurel si Barbu joaca un joc in care fiecare spune, pe rand, cate un numar mai mare decat cel precedent cu de la 1 la 10 unitati (Aurel e cel care incepe jocul). Cel care spune 100 castiga jocul.
Poate Aurel sa gaseasca o metoda prin care sa castige intotdeauna?
Problema 3
Un iluzionist alege in gand un numar intre 1 si 50, il scrie pe o bucata de hartie si il sigileaza intr-un plic. Dupa aceea roaga un spectator sa aleaga un numar intre 51 si 100, si sa-l scrie, de asemenea, pe o hartie pe care sa o sigileze intr-un alt plic. Scade apoi numarul ales de el din 99, si ii spune rezultatul spectatorului, rugandu-l sa il adune la numarul ales de acesta, sa stearga prima cifra a numarului rezultat si sa o adune la numarul ramas, dupa care sa scada rezultatul din numarul la care spectatorul se gandise.
Desfacand plicul, iluzionistul a aratat ca rezultattul era chiar numarul la care se gandise el. Cum a procedat?
Problema 4
Alegeti un numar de format din 4 cifre diferite. Din aceste cifre format cel mai mare numar de 4 cifre M, si cel mai mic numar de 4 cifre m (daca prima cifra este zero, numarul va avea, evident, 3 cifre, de exemplu: 0123), si faceti diferenta.
Puteti demonstra ca, dupa repetarea operatiei asupra diferentei de un numar finit de ori, se va ajunge la rezultatul de 6174?
Problema 5
Fiecare putere a lui 376 se termina in 376 (de exemplu 376×376 = 141.376), si orice putere a lui 625 se termina in 625 (de exemplu 625×625 = 390.625).
Puteti sa demonstrati ca nu mai exista un alt numar de 3 cifre cu aceasta proprietate?
9 Comentarii
Castiga cel care spune primul 89,78,67,56,45,34,23,12 si 1.Deci incepe cu 1 si castiga oricum!
aprilie 26, 2010 - 4:53 pmProblema 1.
aprilie 26, 2010 - 4:53 pmSolutia devine simpla, daca facem legatura cu faptul ca 2^10=1024. Punand exact 10 intrebari cu raspuns DA/NU putem afla orice numar natural “X” ales in intervalul [1,1024]. Fiecare intrebare va urmari injumatatirea intervalului de cautare.
Prima intrebare: X>512? Raspunsul va reduce cautarea la unul din intervalele [1,512] si [513,1024], fiecare dintre ele continand exact 1024/2=512 numere naturale. Pentru simplitate, sa presupunem ca am redus cautarea la intervalul [1,512] (celalalt caz fiind analog).
A doua intrebare: X>256? (Pentru celalalt interval, intrebarea este: X-512>256?) Raspunsul va reduce cautarea la un interval continand 1024/(2^2)=256 numere naturale.
Dupa 10 intrebari de acest tip, cautarea se va reduce la un interval continand 1024/(2^10)=1 numere naturale, adica numarul va fi cunoscut.
Raspuns la P2 .
aprilie 26, 2010 - 5:07 pmProblema 3.
aprilie 26, 2010 - 7:21 pmNotam cu “I” si “S” numerele alese de catre iluzionist, respectiv spectator. Iluzionistul ii comunica spectatorului diferenta D=99-I, din care prin adunare acesta obtine numarul
N=D+S=99-I+S.
Din conditiile asupra lui “I” si “S” rezulta ca 100<=N<=198, deci ca prima cifra a lui "N" este 1. Dupa stergerea primei cifre a lui "N" (care are trei cifre) se obtine de fapt N-100, iar dupa adunarea acestei cifre la numarul ramas spectatorul obtine rezultatul
R=N-99=S-I.
In final spectatorul calculeaza diferenta
S-R=S-(S-I)=I.
Rezultatul final este numarul ales la inceput de catre iluzionist.
Corecte raspunsurile la P1, P2 si P3. Felicitari.
aprilie 26, 2010 - 8:05 pmProblema 4.
aprilie 26, 2010 - 8:49 pmFie “N” un numar de trei cifre, avand proprietatea ca ultimele cifre ale oricarei puteri N^k (k=1,2,…) sunt exact cele ale lui N (in aceeasi ordine). Asta inseamna ca toate diferentele N^k-N sunt divizibile cu 1000, ceea ce este echivalent cu faptul ca N^2-N este divizibil cu 1000=125*8. Din moment ce 125=5^3 divide diferenta N^2-N=N*(N-1), iar N si N-1 nu au divizori comuni, rezulta ca unul din numerele N si N-1 este multiplu de 125. Putem deci scrie
N=125*n+i,
cu 1<=n<=7 (pentru ca N are trei cifre) si 0<=i<=1. Atunci diferenta
N^2-N=125*n*(125*n+2*i-1)
este divizibila cu 1000=125*8, deci si cu 8. Obtinem succesiv ca urmatoarele patru numere sunt divizibile cu 8:
N1=125*n+2*i-1, N2=5*n+2*i-1, N3=5*N2=25*n+10*i-5, N4=n+2*i+3.
Din divizibilitatea lui N4 cu 8 rezulta ca "n" este impar, deci este unul din numerele 1,3,5,7. Prin incercari (divizibilitatea lui N4 cu 8) obtinem solutiile:
(a) n=3, i=1, si deci N=125*n+i=376,
(b) n=5, i=0, si deci N=625.
Cele doua numere gasite sunt deci singurele de trei cifre avand proprietatea ceruta.
Corecta si rezolvarea la P4.
aprilie 27, 2010 - 7:27 amSunt foarte curios daca aveti o demonstratie simpla la problema 4 (mai sus s-a facut confuzie, era vorba despre problema 5). Numarul de mai sus este cunoscut ca fiind constanta lui Kaprekar, insa din cate am citit nu i-a fost foarte usor sa o demonstreze. Mai jos am gasit un link interesant, insa solutia nu este corecta; este doar o schita in cazul in care prin diferente se asigura faptul ca cifrele noului numar rezultat sunt distincte, insa destul de ingenioasa solutia.
http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/
mai 6, 2010 - 8:56 amAi dreptate Cosmin, era problema 4. Scuze ca nu am vazut comentariul tau pana acum.
mai 10, 2010 - 7:56 pm